2022公務員行測備考之巧解數量關系三集合容斥問題

容斥問題是數量關系常考題型之一，其考查頻次低于經濟利潤問題，行程問題，幾何問題，排列組合與概率等考點。雖然容斥問題的考查頻次低于上述高頻考點，但容斥問題一旦考查到考生經常會出錯。究其原因，是因為考生不太熟悉容斥問題。在中學階段，考生并未學習容斥問題。雖然容斥問題和集合有關系，但中學階段并未系統型地闡述兩者之間的關系，也未涉及到相關的習題。因此對大多數考生而言，容斥問題是新的考點，是以前的學習中未曾接觸的考點，因此做題過程中經常出錯。而三集合的容斥問題，考生更容易出錯。接下來介紹三集合中常考的標準型和非標準型公式。

一 、 三集合標準型公式

三集合標準型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總的-三者都不。

關鍵記住左邊各項及正負號，單個的是加號，兩兩相交的是減號，三三相交的是加號，即“+”、“-”、“+” 。

【例 1 】 針對100名旅游愛好者進行調查發現，28人喜歡泰山，30人喜歡華山，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個景點，則不喜歡這三個景點中任何一個的有多少人?

A.20 B.18

C.17 D.15

E.14 F.13

G.12 H.10

【答案】 A

【解析】 本題問的是 不喜歡 三個景點中任何一個的有多少人，即三個都不喜歡的有多少人，結合題干判定本題為三集合容斥問題 。設三個景點都不喜歡的有 x 人，根據三集合標準型公式：A+B+C-(AB+BC+AC)+ABC=總的-三者都不，得 28+30+42-(8+10+5)+3=100-x ，解得 x=20 。 因此，選擇 A 選項 。

三集合標準型難度不大，直接套公式即可 。三集合容斥問題關鍵是判斷題型，當題干中出現“三者都”或者“三者都不”時，要想到三集合的容斥問題。如果題干的已知條件完全匹配標準型公式，直接用標準型公式即可。

二 、 三集合非標準型公式

三集合非標準型公式：A+B+C-滿足兩個的-2×滿足三個的=總的-三者都不

在三集合非標準型公式中，滿足兩個的只需要減掉一次，而滿足三個的需要減掉兩次，即三者都需要減兩次。

【例 2 】某企業調查用戶從網絡獲取信息的習慣，問卷回收率為90%，調查對象中有179人使用搜索引擎獲取信息，146人從官網站獲取信息，246人從社交網站獲取信息，同時使用這三種方式的有115人，使用其中兩種的有24人，另有52人這三種方式都不使用，問這次調查共發出了多少份問卷?

A. 310 B. 360

C. 390 D. 410

【答案】 D

【解析】 本題 題干中出現了 “三者都”、“三者都不” ，判定本題求的是 三集合容斥問題 。設本次回收的問卷數量為 x， 根據三集合非標準型公式， 得 179+146+246-24-2×115=x-52 ， 解得 x= 369 。根據問卷回收率為 90%，可得發出問卷的數量為369÷90%=410(份)。 因此，選擇 D 選項 。

在三集合容斥問題中，如果出現了“滿足兩個”或者“只滿足兩個”，就要考慮是否可以用三集合非標準型公式。

【例 3 】一個班級組織跑步比賽，共設100米、200米、400米三個項目。班級有50人，報名參加100米比賽的有27人，參加200米比賽的有25人，參加400米比賽的有21人。如果每人最多只能報名參加2項比賽，那么該班最多有多少人未報名參賽?

A. 11 B. 12

C. 13 D. 14

【答案】 C

【解析】 本題 題干中出現了 每人最多只能報名參加2項比賽，即出現了 “只滿足兩個” ，判定本題求的是 三集合容斥問題 。 根據 每人最多只能報名參加2項比賽，則報名三項比賽的人數為 0。 設參加兩項 比賽 的有 x人，未報名參賽的有y人， 根據三集合非標準型公式， 得 27 + 25 + 21 - x - 0 = 50 - y，化簡得y=x - 23。要使y盡量大，則x盡可能大。要使x盡可能大，則每個人盡量 參加兩項比賽，參加兩項比賽的人最多為( 27+25+21 ) ÷2=36.5，人數必須為整數， x 最多是36人。 解得 y = 36-23= 13 。因此，選擇 C 選項 。

小結： 1.三集合標準型公式涉及的量較多，條件較為苛刻。如果出現了兩兩相交，考慮用標準型公式。

2.三集合容斥問題中，如果出現“滿足兩個”或者“只滿足兩個”，考慮用非標準型公式。

3.在三集合標準型和非標準型公式中， “三者都”、“三者都不”可以取 0 。

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