數(shù)量中一元二次方程和均值不等式的應用

2021年山西省考數(shù)量關系題目由往年的10道題增加到了15道題目，題量的增加也顯示出了在公考過程中對數(shù)學思維考查的重視程度，結合近年來進面分值要求越來越高，如果考試時完全放棄數(shù)量關系題目，就很難拿到一個高分數(shù)，也就無法為成功上岸打下良好的基礎。而數(shù)量關系之所以難，原因之一是因其題目綜合性強，對考生邏輯思維能力要求較高，但是數(shù)量雖難，很多題目卻有著比較強的技巧性，而且一些知識點也在歷年的考試題目當中多次出現(xiàn)，所以如果我們可以學習并掌握這些題目，就能在短時間內(nèi)求解出這類題目。其中，最值問題便是省考中與其他類型考點結合考查頻率較高的一類，例如幾何求最值，經(jīng)濟利潤問題求最值，都用到了相應的最值理論，接下來小編就對最值問題進行論述，希望對各位同學有所幫助。

理論知識

1.一元二次方程求最值的應用：，(1)當a>0時，y在處取得最小值;(2)當a<0時，y在處取得最大值。

2.均值不等式理論的應用：a+b≥2(a、b均為正整數(shù)，當且僅當a=b時等號成立)。

依據(jù)均值不等式，可得對于一個矩形而言，(1)周長C一定時，面積S取得最大值，;(2)面積S一定時，周長C取得最小值，。

解題思路與技巧

觀察題目設問方式，求最大或最小且涉及上述理論知識當中的哪一個，確定后套用公式即可。

例題精講

【例1】(2020年聯(lián)考)村民陶某承包一塊長方形種植地，他將地分割成如圖所示的4個小長方形，在A、B、C、D四塊長方形土地上分別種植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中長方形A、B、C的周長分別是20米、24米、28米，那么長方形D的最大面積是：

A.42平方米B.49平方米

C.64平方米D.81平方米

【答案】C

【解析】第一步，本題考查幾何最值問題。

第二步，設A的長寬分別為a、b，則a+b=10，B與A長相同，設其寬為c，則a+c=12，C與A寬相同，設其長為d，則b+d=14，D與B寬相同，與C長相同，則c+d=(a+c)+(b+d)-(a+b)=12+14-10=16，則D周長為32。

第三步，由均值不等式可得，當周長一定時，面積取得最大值。

因此，選擇C選項。

【例2】(2019年深圳)某類商品按質(zhì)量分為8個檔次，最低檔次商品每件可獲利8元，每提高一個檔次，則每件商品的利潤增加2元。最低檔次商品每天可產(chǎn)出60件，每提高一個檔次，則日產(chǎn)量減少5件。若只生產(chǎn)其中某一檔次的商品，則每天能獲得的最大利潤是()元。

A.620B.630

C.640D.650

【答案】C

【解析】第一步，經(jīng)濟利潤問題最值優(yōu)化類。

第二步，設提升了n個檔次，總利潤為y，根據(jù)總利潤=每件商品的利潤×銷售量，可得，令y=0，解得n1=-4，n2=12，當時，y取得最大值。

第三步，y最大值=(8+2×4)×(60-5×4)=640元。

因此，選擇C選項。

根據(jù)例題2可以看出通常情況如果將y值寫成兩個數(shù)相乘的形式，這樣不需要再記住對稱軸公式，相對更容易求解，節(jié)省時間。

綜上可以看出，經(jīng)濟利潤問題最值優(yōu)化類以及幾何問題求最值常常是與函數(shù)問題相結合，因此，只要大家掌握了函數(shù)求最值的相應技巧，這類問題便可迎刃而解!

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