2022國考行測備考數量關系之賦零法巧解三元一次方程問題

各位正在備考的小伙伴們，大家好!今天我們來學習數量關系中的三元一次方程特定題型的解題技巧。相信很多小伙伴對于賦零法解三元一次方程都有所了解，但是又比較疑惑到底什么情況下使用一定是正確的，為什么有時候賦0法就不適用，今天我們就來解決這個問題。

首先我們先來看一個例題，讓大家了解一下賦零法。

例1.(2009 國考)甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了4 3元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢?

A. 21元 B. 11元 C. 10元 D. 17元

解析：設簽字筆、圓珠筆和鉛筆的單價分別為x、y、z，可得兩個方程3x+7y+z=32①、4x+10y+z=43②，求x+y+z的和是多少。兩個方程三個未知項是無法直接確定x、y、z的具體數值的，提供兩種常見思路。

解法一 ：湊系數法，因為我們要求的是x+y+z的整體，所以每一項的系數都應該為1，那么我們優先解決系數最復雜的一項，通過觀察后發現，兩個方程系數最復雜的項應該是x的系數，系數分別為7和10，接下來把7和10的倍數分別枚舉下來，分別為7、14、21、28、35和10、20、30、40等，觀察后發現他們的公倍數只有21減去20為1，因此我們將①×3減去②就可以將x、y、z的系數變為1，因此最后的結果為32×3-43×2=10元，選擇C選項。

解法二：賦零法，首先我們分析x、y、z里系數最復雜的未知項，顯然是x，令x=0，那么兩個方程就變成了3x+z=32、4x+z=43，兩式相減可以求得x=11，然后代入求得z=-1，所以x+y+z=11+0-1=10，選C選項。

分析兩個方法后我們發現，明顯賦零法解題更加方便簡潔。湊系數法雖看似方便，但在實際解題過程中，在將系數湊為1時往往會遇到困難，并沒有賦零法解題方便。那么小伙伴就會想，是不是所有的三元一次方程問題都可以這樣求解呢?肯定不是的，接下來我們看兩個反例。

例2.(2014 吉林)某學校組織一次教工接力比賽，共準備了25件獎品分發給獲得一、二、三等獎的職工，為設計獲得各級獎勵的人數，制定兩種方案：若一等獎每人發5件，二等獎每人發3件，三等獎每人發2件，剛好發完獎品;若一等獎每人發6件，二等獎每人發3件，三等獎每人發1件，也剛好發完獎品，則獲得二等獎的教工有多少人?

A.6 B.5 C.4 D.3

解析：設一等獎、二等獎和三等獎的教工人數分別為x、y、z人，可得兩個方程5x+3y+2z=25①、6x+3y+z=25②。我們發現此題需要求解的是y的值，那么明顯將x或z賦予不同的值，求解出來的結果是不一樣的，因此不能用賦值法。此題的正確解法應該是將不定方程組轉化為不定方程來求解。②×2-①=7x+3y=25，通過代入排除可確定y=6，因此選擇A選項。

此題不能用賦零法的原因在于求解的只是y的值，并不是x+y+z的整體。我們再來看一個例子。

例3. 某次數學競賽準備了22支鉛筆作為獎品發給一、二、三等獎的學生，原計劃一等獎每人發6支，二等獎每人3支，三等獎每人發2支。后來又改為一等獎每人發9支，二等獎每人4支，三等獎每人1支，總共有多少人獲獎?

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：設一等獎、二等獎和三等獎的學生人數分別為x、y、z人，可得兩個方程6x+3y+2z=22①、9x+4y+z=22②。通過觀察后我們求的是整體，我們先用賦零法試一下。因為x的系數最復雜，因此令x=0，可得5y=22，y=4.4，代入解得z=4.4，此時x+y+z=8.8不是整數，但人數必須要是整數，很明顯不符合實際，因此也不能使用。看到這各位小伙伴可能會想，這也不能用，那也不能用，那學了干啥咧!各位小伙伴別著急，我們先來看這道題的正確解法，將②×2- ①=12x+5y=22，賦值代入可得唯一解x=1、y=2，代入得z=5，所以總人數=x+y+z=8，因此選擇D選項。

此題雖然求的是整體，但是由于要求x、y、z都必須是整數，所以也不能用賦零法。

給大家總結分析一下，在解決三元一次方程時，什么情況下能使用賦值法。首先要求求的必須是整體(x+y+z的總和)，其次是要求求的量沒有整數要求的限制，常見的比如金錢就不要求必須為整數，但具體人數就必須為整數。簡單分析一下原理，題目要求我們求解的是x+y+z的總和或者x+y+z的整數倍，那么x+y+z的結果必然為定值，它在實數的范圍內有無數組解，你可以嘗試令x為任意值，在實數范圍內總能找到一組y和z的值，滿足x+y+z等于定值，但是如果限制整數那就不一定能找到滿足條件的y和z的值。

接下來再把今天的知識點梳理為以下思維導圖，方便大家理解。

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