2023數量關系一點通：三集合容斥原理

在行政職業能力測驗考試中，數量關系科目有很多的解題技巧、方法和公式。尤其是利用公式法解題，只需大家掌握公式，考試時直接套用公式，就可以快速準確地解題。比如數量關系中常考的一種題型容斥原理，就可以用公式法解題。

今天我們就一起來學習一下用公式法解決三集合容斥原理的題目。三集合容斥原理分成標準型和非標準型兩種，三集合標準型容斥原理公式為：滿足條件1的個數+滿足條件2的個數+滿足條件3的個數-滿足條件1和2的個數-滿足條件1和3的個數-滿足條件2和3的個數+三者都滿足的個數=總個數-三者都不滿足的個數;三集合非標準型容斥原理公式為：滿足條件1的個數+滿足條件2的個數+滿足條件3的個數-“只”滿足兩個條件的個數-2×三者都滿足的個數=總個數-三者都不滿足的個數。

那么下面我們一起看幾個例題，應用一下公式法去求解三集合容斥原理。

【例1】(2019新疆)某機關開展紅色教育月活動，三個時間段分別安排了三場講座。該機關共有139人，有42人報名參加第一場講座，51人報名參加第二場講座，88人報名參加第三場講座，三場講座都報名的有12人，只報名參加兩場講座的有30人。問沒有報名參加其中任何一場講座的有多少人?

A.12

B.14

C.24

D.28

【答案】A

【解析】第一步，本題考查容斥原理，用公式法解題。

第二步，設沒有報名參加其中任何一場講座的有x人。根據三集合非標準型容斥原理公式，可列方程42+51+88-30-2×12=139-x，解得x=12。(或者使用尾數法解題)

因此，選擇A選項。

【例2】(2018陜西)有關部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結果顯示，抗氧化劑達標的有68種，防腐劑達標的有77種，漂白劑達標的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達標的有54種，防腐劑和漂白劑都達標的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達標的有35種，三種食品添加劑都達標的有30種，那么三種食品添加劑都不達標的有多少種?

A.14

B.15

C.16

D.17

E.18

F.19

G.20

H.21

【答案】E

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，按照三集合容斥標準型公式，直接設三種食品添加劑都不達標的為x種，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18(可用尾數法計算)。

因此，選擇E選項。

【例3】(2019河北)某班參加學科競賽人數40人，其中參加數學競賽的有22人，參加物理競賽的有27人，參加化學競賽的有25人，只參加兩科競賽的有24人，參加三科競賽的有多少人?

A.2

B.3

C.5

D.7

【答案】C

【解析】第一步，本題考查容斥問題，屬于三集合容斥類，用公式法解題。

第二步，設參加三科競賽的有x人，根據三集合非標準型容斥原理公式可列方程：40-0=22+27+25-24-2x，解得x=5。

因此，選擇C選項。

通過上面三個例題我們發現，用公式法解決三集合容斥原理還是比較簡單的，只要我們掌握好公式，把公式記牢，考場中直接套用公式，那么容斥原理類的題目還是比較容易拿分的，所以我們要牢記公式。

祝每位考生都能取得理想成績，金榜題名就在今朝!

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