最多（少）的最少（多）的有多少——數列構造問題

針對這些有固定套路的題，我們只需要掌握好對應的方法，遇到對應的題目，直接套用就可以了，例如：容斥問題、工程問題，最不利構造問題以及數列構造問題。下面就介紹一下關于數列構造問題的固定解題方法。

一、題型特點：題干是要求將人數或物品按照一定原則進行分組或分配，問題中出現“最多(少)……至少(多)”、“排名第……最多(少)……”等描述。

二、解題方法：排序-定位-構造-求和

排序：將所描述的主體按照順序排列，確定最大值與最小值的位置。

定位：明確所求的位置，設未知數。

構造：按照題干已知條件對于各組人數或物品數進行構造。

求和：依據各組數量之和=總數，列式求解。

方法運用：

【示例】五位學生參加某次考試后平均分為90分，每個人的分都為整數且均不相同，問得分最低的學生最多得多少分?

排序：將五位同學按照分數從高到低排序。

定位：題目問的是的分最低的，設第五名得分為x。

構造：要使第五名得分最多，總分數為90×5=450是固定值，則其他人需要盡可能的少，第四名最少為x+1，第三名x+2，以此類推。

求和：總分數為450，則x+4+x+3+x+2+x+1+x=450，解得x=88，即得分最低的學生最多得88分。

三、真題感知

【例】某街道服務中心的80名職工通過相互投票選出6名年度優秀職工，每人都只投一票，最終A、B、C、D、E、F這6人當選。已知A票數最多，共獲得20張選票;B、C兩人的票數相同，并列第2;D、E兩人票數也相同，并列第3;F獲得10張選票，排在第4。那么B、C獲得的選票最多為()張。

A.11B.12

C.13D.14

【答案】D

【解析】第一步，本題考查最值問題中的數列構造問題。

第二步，根據前述的解題方法，排序-定位-構造-求和，依題意先排序、定位列出表格如下：

要使B、C選票最多其他人需要盡可能的少，又D、E票數相同且要比F多，故，D、E最少取11。

第三步，總票數為80票，求和，20+x+x+11+11+10=80，解得x=14，即D、F最多得14票。

因此，選擇D選項。

通過前述的示例和真題，相信大家應該掌握了解決數列構造問題的方法。方法的難點在于構造的過程，要仔細的分析清楚題干的要求，若求最多，其他的量就盡可能的少;求最少，其他量就需要盡可能的多。這類題需要充分結合題干的要求及條件，通過排序-定位-構造-求和這種方法求出對應的答案。

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