2022省考之常用勾股數(shù)在數(shù)量解題中的應(yīng)用

直角三角形的三邊長度符合勾股定理：，符合該定理的常用勾股數(shù)如下表所示。

其中，應(yīng)用最多的是3、4、5這一組及與其成比例關(guān)系的勾股數(shù)，例如6、8、10;12、16、20等。記住這些常用勾股數(shù)，一方面，幾何計算問題中涉及直角三角形邊長計算時，大多情況下可以省去求平方開方的復(fù)雜計算，事半功倍;另一方面，在一些問題中，若能聯(lián)系常用勾股數(shù)，可快速求解。下面，我們結(jié)合幾道真題來應(yīng)用一下。

【例1】一個半圓形拱門的寬和高分別為8米和4米，一輛貨車拉著寬4.8米、每層高20厘米的泡沫板通過該拱門。如果車斗底部與地面的垂直距離為1.1米，問要通過拱門，每次最多可以裝載幾層泡沫板?

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，如圖所示，在直角三角形OBC中，OC=OA=4米，，根據(jù)勾股定理，BC=，車斗底部與地面的垂直距離為1.1米，泡沫板每層高20厘米，<11，即每次最多可以裝載10層泡沫板。

因此，選擇B選項。

【說明】已知OC=4，OB=2.4，對應(yīng)常用勾股數(shù)3、4、5，斜邊長度4=5×0.8，直角邊2.4=3×0.8，故另一條直角邊BC=4×0.8=3.2。可避免平方再開方的復(fù)雜計算。

除了在直角三角形計算中聯(lián)系勾股數(shù)可快速求解，常用勾股數(shù)還可用于符合形式的基本計算中。

【例2】把一個正方形的四個角分別切除一個等腰三角形，剩下一個長寬不等的矩形。若被切除部分的總面積為400平方厘米，且切除的三角形的直角邊的長度均為整數(shù)，則所剩矩形的面積為多少平方厘米?

A.320B.336

C.360D.384

E.400F.420

G.441H.464

【答案】D

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于平面幾何類。

第二步，設(shè)兩組等腰三角形的腰長分別為x、y，則切除部分面積為，化簡得，解得x=12，y=16。

第三步，故S矩形=S正方形-S切除部分=。

因此，選擇D選項。

【說明】本題若直接根據(jù)計算x、y的取值則過于復(fù)雜，而此式符合勾股定理的形式，可優(yōu)先考慮聯(lián)系常用勾股數(shù)求解。

【例3】邊長為整數(shù)且成等差數(shù)列的三個正方形，面積之和不大于5000，其中有兩個正方形的面積之和等于第3個正方形的面積，這樣的正方形存在多少組?

A.6B.7

C.9D.10

【答案】D

【解析】第一步，本題考查幾何問題。

第二步，設(shè)三個正方形邊長分別為a-n、a、a+n(a、n都是正整數(shù))，那么由題意有：(a-n)²+a²=(a+n)²，化簡為a²=4an，由于a為正整數(shù)可知a=4n。可知三個正方形邊長分別為3n、4n、5n，面積之和為(3n)²+(4n)²+(5n)²=50n²≤5000，n²≤100，n可以取1到10，共10組解。

因此，選擇D選項。

【說明】若三個正方形邊長分別記為a,b,c，根據(jù)題意其面積符合，則取值優(yōu)先考慮常用勾股數(shù)，又根據(jù)“邊長為整數(shù)且成等差數(shù)列”，僅勾股數(shù)3、4、5及與其成比例關(guān)系的數(shù)字符合。面積之和不大于5000，則。c的取值為5的倍數(shù)且小于等于50，共50÷5=10個，故符合條件的共10組。

以上就是常用勾股數(shù)在數(shù)量關(guān)系中的應(yīng)用，小伙伴們記住其應(yīng)用情況，在后續(xù)解題中可以更快速的得出結(jié)果。

【小結(jié)】

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