利潤極值問題快速破解有訣竅

經濟利潤問題中涉及到函數求極值的題型在省國考行測考察中是小伙伴比較頭疼的一類問題，往往不知道如何快速找出解題的突破口，最終只得望洋興嘆。為了破解這個瓶頸，找到解題的切入點，這里梳理了完備快捷的解題思路，針對不同的類型對癥下藥，使得這類問題有章可循，有法可解。

1.考查題型梳理，快速定位識別

考查一般分為兩種類型，都是涉及到總利潤最大值的求解。關于總利潤值的數學表達式跟產品數量與單件利潤直接相關，故而總利潤這個變量可以通過這兩類量進行表示。第一種類型，告知銷售某種商品，可以通過降價提高銷售數量，并不直接提供總利潤的函數表達式，需要我們建立，最終表示的形式是一元二次函數;而第二種則是，提供總利潤關于銷售數量的函數表達式，這里往往是一元多次函數(一元三次函數頻次最高)。

2.量身定做鑰匙，高效精確破解

針對題型一，根據總利潤=產品數量×單個利潤，快速建立關于總利潤的函數表達式，這里建立的一元二次函數不建議小伙伴們用配方法找最大值，計算量大耗時耗力，這里考慮拋物線的兩點式進行求解會更便捷。可以把一元二次函數化成拋物線兩點式的標準形式y=a(x-x1)(x-x2)，當就是取極值點的位置，a>0時，取最小值，如下圖所示;a<0時，取最大值。

針對題型二，給出總利潤關于銷售數量的函數表達式，這里一般均是一元三次函數，解決的途徑是進行一次求導，令求導的函數等于0，解出未知量的值。這時算出的結果就是取極值的位置，至于是極大值或是極小值，涉及單調升降，那就需要求二階導，但沒有必要，我們這里求出的值就是我們所要求的結果。

3.例題精講

【例1】某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件，已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應降低的金額是：

A.5元 B.6元

C.7元 D.8元

【解析】本題涉及經濟利潤問題中總利潤最大值的求解，沒有直接給出函數表達式，需要我們自己建立。先設銷售單價應降低的金額是x元，根據總利潤=產品數量×單件利潤，總利潤用y表示，則有y=(100-80-x)(120+20x)，這里化成拋物線兩點式的標準形式y=a(x-x1)(x-x2)=-20(x-20)(x+6)，x1=20，x2=-6，當就是取極值點位置，由于a<0，故而此時最大值，滿足的選項為C。

【例2】某企業的凈利潤y(單位：10萬元)與產量x(單位：100萬件)之間的關系為：問該企業的凈利潤的最大值是多少萬元?

A.5 B.50

C.60 D.70

【解析】很明顯，這里給出了總利潤的一元三次函數表達式，按照解題流程對其求出一階導，令，解得(舍去)，當x=2時，取極值，故考慮到利潤的單位為10萬元，所以最大利潤值為5×10=50萬元，滿足的選項為B。

通過兩道經典例題，我們做個總結：遇到經濟利潤問題中涉及求解利潤最值的問題，首先能夠學會快速定位匹配題型，根據不同的類型選用合適的解題流程去求解，建立函數表達式要準確，求解導數更要細心，這些基礎工作不能紕漏，環環相扣，強化練習，加以時日，解決這部分問題時定能得心應手。

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