2022國考行測備考之幾何問題中相似定理的應用

不管是公務員還是事業單位考試，數量關系對于絕大多數考生來說是一大難點，特別是幾何問題。對于幾何問題考查的重點主要分成三個部分：第一個部分是基本公式類、第二個部分是幾何特性、第三個部分是幾何構造。而近幾年來考查的方向主要趨向于幾何特性部分，今天我們就來聊聊幾何特性部分中的三角形相似的應用。

何為相似?

相似指相類、相像的意思。語出《易·系辭上》:"與天地相似，故不違。"學科上解釋：如果兩個圖形形狀相同，但大小不一定相等，那么這兩個圖形相似。

三角形相似

定義：三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

基本定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似。

即：

判定定理和性質定理

通過以上對于三角形相似的定義、判定定理以及性質定理的學習，我們來看看近幾年數量關系中對幾何性質的考查題目。

【例題1】一塊三角形農田ABC(如下圖所示)被DE、EF兩條道路分為三塊。已知BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF，則三角形ADE、三角形CEF和四邊形BDEF的面積之比為：

A. 1∶3∶3

B. 1∶3∶4

C. 1∶4∶4

D. 1∶4∶5

【答案】C

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于幾何特性類。

第二步，根據題意知，BD=2AD，CE=2AE，CF=2BF。得、。根據三角形相似的判定定理：兩邊對應成比例且夾角相等, 兩三角形相似。即,再根據三角形相似的性質定理：相似三角形面積的比等于相似比的平方，得三角形ADE和三角形ABC面積之比為1：9，因此三角形ABC的面積為9的倍數，即三角形ADE、三角形CEF和四邊形BDEF的面積和為9的倍數。

因此，選擇C選項。

【例題2】如下圖，某植物園四邊形花圃ABCD的面積為90，EC：AE=5：4，則三角形花圃BCD的面積是多少?

A. 40

B. 50

C. 60

D. 65

【答案】B

【解析】第一步，本題考查幾何問題，屬于幾何特性類。

第二步，根據題意，做三角形 ABD 的高 AF 交 BD 于 F，做三角形 BCD 的高 CG 交 BD 于 G，則直角三角形 AFE 和直角三角形 CGE 相似，則對應邊成比例，所以 AF：CG=4：5，三角形 ABD 和三角形 BCD 同底，所以對應高的比等于面積比=4:5，則三角形 BCD的面積=。

因此，選擇B選項。

通過這些題目，我們不難看出，無論題目形式如何多變，但是內涵本質不變。在備考階段遇到幾何問題中涉及三角形時，應用三角形相似的性質做題，不僅會縮短做題的時間，還會提高效率。

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